Sifat Logaritma: Macam-Macam, Pembuktian, Contoh Soal dan Pembahasannya

Dalam artikel tentang definisi dan notasi logaritma, telah dijelaskan bahwa logaritma adalah invers atau kebalikan dari pemangkatan. Ketika kita mencari nilai logaritma suatu bilangan berarti kita sedang mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui. Untuk mencari logaritma suatu bilangan, kita dapat menggunakan tabel logaritma biasa.

Namun dalam matematika, nilai logaritma suatu bilangan tidak harus dicari dengan menggunakan tabel logaritma, karena logarima memiliki beberapa sifat atau rumus identitas yang dapat dipergunakan untuk menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan syarat atau kondisi tertentu. berikut ini adalah gambar sifat-sifat logaritma yang sudah penulis rangkum.

Untuk memahami sifat-sifat logaritma, cara pembuktian sifat atau rumus logaritma serta contoh soal yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi hitung logaritma, silahkan kalian pelajari uraian artikel berikut ini.

Bentuk Umum Logaritma

ax = b

↔

x = alog b

Dengan  syarat b > 0, a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan:

a	=	bilangan pokok atau basis logaritma
b	=	numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
x	=	hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Rumus Identitas Logaritma

1	alog an	= n
2	alog a	= 1
3	alog 1	= 0

Pembuktian ketiga rumus identitas logaritma di atas adalah sebagai berikut

1	alog an = n → an = an
2	alog a = 1 → a1 = a
3	alog 1 = 0 → a0 = 1

Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya

#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)

alog (b × c) = alog b + alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b × c = an × am

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b × c = an + m sehingga

alog (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b × c) = alog b + alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2log 4 + 2log 8
2. 5log ½ + 5log 50

Jawab

1. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 5
2. 5log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2

#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)

alog (b/c) = alog b − alog c

Pembuktian sifat 2 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b/c = an /am

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b/c = an − m sehingga

alog (b/c) = n − m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b/c) = alog b − alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 7log 217 − 7log 31
2. log 0,05 − log 5

Jawab

1. 7log 217 − 7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1
2. log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2

#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)

alog bn = n × alog b

Pembuktian sifat 3 logaritma

Dari sifat 1 logaritma,

alog b + alog b = alog (b × b)

2 alog b = alog b2

Dengan cara yang sama:

alog b2 + alog b = alog (b2 × b)

2 alog b + alog b = alog b3

3 alog b = alog b3

Dengan cara yang sama:

alog b3 + alog b = alog (b3 × b)

3 alog b + alog b = alog b4

4 alog b = alog b4

Dengan demikian dapat disimpulkan:

n alog b = alog bn

atau

alog bn = n × alog b

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
2. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48

Jawab

1. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20

= log 252 – log 53 + log 20

= log (252/53) + log 20

= log 5 + log 20

= log (5 × 20)

= log 100 = 2

2. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48

= 2log 82½ – 2log 33 + 2log 48

= 2log (9/27) + 2log 48

= 2log 1/3 + 2log 48

= 2log (1/3 × 48)

= 2log 16 = 4

#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)

alog b	=	nlog b
		nlog a

Pembuktian sifat 4 logaritma

Misalkan

alog b = m maka b = am

nlog b = nlog am

nlog b = m × nlog a

m = nlog b/ nlog a

alog b = nlog b/ nlog a

Contoh Soal

Jika 2log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma 8log 3 ke dalam a.

Jawab

8log 3 = log 3/log 8

8log 3 = log 3/log 23

8log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)

8log 3 = 1/3 × 2log 3

8log 3 = 1/3 a

#Sifat 5 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2)

alog b	=	1
		blog a

Pembuktian sifat 5 logaritma

Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.

alog b = nlog b/nlog a

alog b = blog b/ blog a

alog b = 1/ blog a

Contoh Soal

Tentukan nilai dari 2log 8 dan 64log 4

Jawab

2log 8 = 1/8log 2

2log 8 = 1/8log 81/3

2log 8 = 1/(1/3)

2log 8 = 3

64log 4 = 1/4log 64

64log 4 = 1/4log 43

64log 4 = 1/3

#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)

alog b × blog c = alog c

Pembuktian sifat 6 logaritma

Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:

alog b = nlog b/nlog a

blog c = nlog c/nlog b

sehingga

alog b × blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)

alog b × blog c = nlog c/ nlog a

alog b × blog c = alog c

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

1. 2log 5 × 5log 64
2. 2log 25 × 5log 3 × 3log 32

Jawab

1. 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
2. 2log 25 × 5log 3 × 9log 32

= 2log 52 × 5log 3 × 3log 25

= 2 2log 5 × 5log 3 × 5 3log 2

= 2 × 5 × 2log 5 × 5log 3 × 3log 2

= 10 × 2log 2

= 10 × 1

= 10

#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)

anlog bm	=	m	× alog b
		n

Pembuktian sifat 7 logaritma

Misalkan

^anlog b^m = c maka (aⁿ)^c = bm

(an)c = bm

an×c = bm

b = m√(anc)

b = anc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)

alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)

m/n × ^alog b = c

m/n × ^alog b = ^anlog b^m

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

a) ²²log 4³

b) ²⁴log √32

Jawab

a) ²²log 4³ = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3

b) ²⁴log √32 = ²⁴log 32^½ = 1/8 × ²log 32 = 1/8 (5) = 5/8

#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)

anlog bn = alog b

Pembuktian sifat 8 logaritma

Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan pembuktiannya.

Contoh Soal

Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma 8log 27 ke dalam bentuk a

Jawab

⁸log 27 = ²³log 3³ = ²log 3 = a

#Sifat 9 (Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma)

aalog b = b

Pembuktian sifat 9 logaritma

Misalkan ^alog b = c maka a^c = b, sehingga

a^{alog b} = a^c = b

a^{alog b} = b

Contoh Soal

Sederhanakanlah

a) 2^{2log 5}

b) 3^{3log 4}

c) 5^{5log 10}

d) 7^{7log 25}

Jawab

a) 2^{2log 5} = 5

b) 3^{3log 4} = 4

c) 5^{5log 10} = 10

d) 7^{7log 25} = 25

#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)

alog (b/c) = − alog (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma

Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai berikut:

alog (b/c) = alog b − alog c

alog (b/c) = − (alog c − alog b)

alog (b/c) = − {alog (c/b)}

alog (b/c) = − alog (c/b)

Contoh Soal

Tentukan nilai logaritma dari

1. 2log (4/2)
2. 4log (32/2) 

Jawab

1. 2log (4/2) = −2log (2/4)  = − 2log ½  = − 2log 2−1 = − (−1) 2log 2 = 1
2. 4log (32/2) = −4log (2/32) = − 4log (1/16) = −4log 4-2 = − (−2) 4log 4 = 2

Demikianlah artikel tentang sifat-sifat atau rumus operasi hitung logaritma, pembuktian sifat logaritma serta contoh soal tentang sifat logaritma beserta pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Tweet