Perkalian Vektor: Macam-Macam, Sifat, Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam artikel tentang pengertian, gambar, notasi dan sifat-sifat vektor, telah disebutkan bahwa salah satu sifat vektor yaitu dapat dikalikan. Jika pada artikel-artikel sebelumnya telah dibahas mengenai cara menentukan resultan vektor hasil penjumlahan dan pengurangan baik dengan metode grafis maupun metode analisis, maka dalam artikel ini akan kita bahas mengenai perkalian vektor. Untuk memahami tentang perkalian vektor simak penjelasan berikut ini.

2 Dimensi		3 Dimensi
r	= xi + yj	r	= xi + yj + zk
kr	= kxi + kyj	kr	= kxi + kyj + kzk

Hasil perkalian titik dua buah vektor adalah skalar.

Simbol dari perkalian titik adalah (.) yang sering disebut perkalian titik (dot product). Karena hasil perkalian adalah skalar maka perkalian titik disebut juga dengan scalar product.

Dalam perkalian titik, ada 3 poin penting yang perlu diingat, yaitu:

1.	Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus (α = 90o) maka
	A . B = 0 → cos 90o = 0
2.	Jika kedua vektor A dan B searah (α = 0o) maka
	A . B = AB → cos 0o = 1
3.	Jika kedua vektor A dan B berlawanan searah (α = 180o) maka
	A . B = - AB → cos 180o = -1

Perkalian Titik Pada Vektor Satuan

gambar

Perhatikan gambar di atas, vektor satuan i, j, dan k merupakan vektor yang saling tegak lurus satu sama lain dengan kata lain besar α = 90o dan nilai ketiga vektor tersebut adalah 1. Maka hasil perkalian titik pada vektor satuan tersebut adalah sebagai berikut:

i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 (berhimpit)

i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 (tegak lurus)

Dengan menggunakan hasil perkalian titik pada vektor satuan di atas, kita dapat mencari hasil perkalian titik suatu vektor yang dinyatakan dalam vektor satuan. misalkan terdapat dua vektor berikut ini:

A = Axi + Ayj + Azk

B = Bxi + Byj + Bzk

Hasil perkalian titik antara vektor A dan B adalah sebagai berikut:

A . B	=	(Axi + Ayj + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
A . B	=	Axi . Bxi + Axi .Byj + Axi . Bzk + Ayj . Bxi + Ayj .Byj + Ayj . Bzk +Azk . Bxi + Azk .Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . j = i . k = j . k = 1.1 cos 90o = 0 maka
A . B	=	Axi . Bxi + 0 + 0 + 0 + Ayj .Byj + 0 + 0 + 0 + Azk . Bzk
A . B	=	Axi . Bxi + Ayj . Byj + Azk . Bzk
		→  karena i . i = j . j = k . k = 1.1 cos 0o = 1 maka
A . B	=	AxBx + AyBy + AzBz

Contoh Soal Perkalian Silang dan Pembahasannya

Sebuah gaya dengan persamaan F = (i + 2j – k) N bekerja pada daun pintu. Jika dilihat dari sebuah engsel, gaya tersebut bekerja pada vektor posisi r = (0,8i + 0,2j) m. Tentukan persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut.

Jawab:

Diketahui:

F = (i + 2j – k) N

r = (0,8i + 0,2j) m

Ditanyakan : momen gaya (τ)

Momen gaya merupakan hasil perkalian silang antara vektor posisi dengan gaya. Jadi:

τ = r x F

τ = (0,8i + 0,2j)  x (i + 2j – k)

τ = (0,8)(1)(i x i) + (0,8)(2)(i x j) + (0,8)(-1)(i x k) + (0,2)(1)(j x i) + (0,2)(2)(j x j) + (0,2)(-1)(j x k)

τ = 0 + 1,6k – 0,8(-j) + 0,2(-k) + 0 – 0,2i

τ = -0,2i + 0,8j + 1,4k

jadi, persamaan momen gaya yang ditimbulkan gaya tersebut adalah τ = (-0,2i + 0,8j + 1,4k) Nm.

Demikianlah artikel tentang pengertian, sifat, rumus, aturan dan contoh soal beserta pembahasannya terkait dengan perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik dan perkalian silang. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Tweet