Persamaan Kuadrat: Bentuk Umum, Jenis, Contoh Soal dan Pembahasan

Pada artikel sebelumnya, telah dibahas mengenai fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang berbentuk f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0. Fungsi kuadrat ini disebut juga sebagai fungsi polinom (suku banyak) berderajat dua dalam variabel x. Nah pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang persamaan kuadrat. Konsep persamaan kuadrat dengan fungsi kuadrat tidak jauh berbeda. Untuk memahami persamaan kuadrat silahkan kalian simak penjelasan berikut ini.

 

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Untuk dapat mendeskripsikan bentuk umum persamaan kuadrat, simaklah beberapa persamaan berikut ini.

•x2 – 3 = 0

•x2 – 12x = 0

•x2 – 6x + 10 = 0

•3x2 – 2x + 5 = 0

Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi peubah x sama dengan dua (x2). Persamaan yang memiliki bentuk seperti itu disebut persamaan kuadrat dalam variabel (peubah) x atau persamaan berderajat dua dalam variabel x. Berdasarkan keterangan tersebut, bentuk umum atau bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0, maka persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam variabel x.

Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan atau konstanta. Sebagai contoh, nilai-nilai a, b dan c pada persamaan-persamaan kuadrat di atas adalah sebagai berikut.

•x2 – 3 = 0, nilai a = 1, b = 0 dan c = –3

•x2 – 12x = 0, nilai a = 1, b = –12 dan c = 0

•x2 – 6x + 10 = 0, nilai a = 1, b = –6  dan c = 10

•3x2 – 2x + 5 = 0, nilai a = 3, b = –2  dan c = 5

Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b dan c, dikenal beberapa nama persamaan kuadrat, diantaranya adalah sebagai berikut.

-	Jika a = 1, maka bentuk umum persamaan kuadrat menjadi x2 + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa.
-	Jika b = 0, maka bentuk umum persamaan kuadrat menjadi ax2 + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna.
-	Jika c = 0, maka bentuk umum persamaan kuadrat menjadi ax2 + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap.
-	Jika a, b dan c bilangan-bilangan real, maka ax2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat real.
-	Jika a, b dan c bilangan-bilangan rasional, maka ax2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Dari 5 macam persamaan kuadrat di atas, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk baku, misalnya

-	2x2 = 3x – 8
-	x2 = 2(x2 – 3x + 1)
-	2x – 3  =		5
			x
-	2	+		1	= 2
	x – 1			x – 2

Persamaan kuadrat semacam ini dapat diubah menjadi bentuk baku dengan melakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat yang dimaksud itu adalah sebagai berikut.

1.Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

2.Kedua ruas suatu persamaan dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilangan atau variabel yang sama, asalkan bilangan atau variabel itu tidak sama dengan nol. Persamaan baru yang diperolehpun tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

Contoh Soal dan Pembahasan

Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut ini ke dalam bentuk baku, kemudian tentukan nilai a, b dan c.

a)	2x2 = 3x – 8
b)	x2 = 2(x2 – 3x + 1)
c)	2x – 3  =		5
			x
d)	2	+		1	= 2
	x – 1			x – 2
e)	4(x + 1) – 2(x + 1)2 + 3 = 0

Jawab

a) 2x2 = 3x – 8, kedua ruas ditambah dengan –3x + 8

⇔ 2x2 – 3x + 8 = 0

Jadi, nilai a = 2, b = –3 dan c = 8.

b) x2 = 2(x2 – 3x + 1)

⇔ x2 = 2x2 – 6x + 2, kedua ruas dikurangi x2

⇔ 0 = x2 – 6x + 2

⇔ x2 – 6x + 2 = 0

Jadi, nilai a = 1, b = –6 dan c = –5

c) 2x – 3 = 5/x, kedua ruas dikalikan dengan x, dengan x ≠ 0

⇔ (2x – 3)x = 5

⇔ 2x2 – 3x = 5

⇔ 2x2 – 3x – 5 = 0

Jadi, nilai a = 2, b = –3 dan c = –5.

d)	2	+	1	= 2
	x – 1		x – 2

Kedua ruas dikalikan dengan (x – 1)(x – 2), dengan (x – 1)(x – 2) ≠ 0

⇔ 2(x – 2) + (x – 1) = 2(x – 1)(x – 2)

⇔ 2x – 4 + x – 1 = 2(x2 – 3x + 2)

⇔ 3x – 5 = 2x2 – 6x + 4

⇔ 2x2 – 9x + 9 = 0

Jadi nilai a = 2, b = –9 dan c = 9.

e) 4(x + 1) – 2(x + 1)2 + 3 = 0

⇔ 4x + 4 – 2(x2 + 2x + 2) + 3 = 0

⇔ 4x + 4 – 2x2 – 4x – 4 + 3 = 0

⇔  –2x2 – 4x + 3 = 0

Jadi nilai a = –2, b = –4 dan c = 3.

Demikianlah artikel tentang definisi, bentuk umum dan jenis-jenis persamaan kuadrat beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.

Tweet